Booleova algebra

Booleova algebra, nazvaná podle irského matematika George Boolea, je struktura $\mathbb {B} =(B,\wedge ,\vee ,{\textbf {1}},{\textbf {0}},-)$, kde $B$ je neprázdný nosič, $\wedge ,\vee$ jsou binární operátory, 0 je nejmenší a 1 největší prvek, Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -} je unární operátor na B a platí axiomy:
$B_{1}$ asociativita $\wedge ,\vee$
$B_{2}$ komutativita $\wedge ,\vee$
Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B_3} distributivita $\wedge ,\vee$
Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B_4} komplementarita $a\wedge -a=0,a\vee -a=1$
$B_{5}$ absorpce $a\vee (a\wedge b)=a,a\wedge (a\vee b)=a$
$B_{6}$ nedegenerovanost ${\textbf {0}}\neq {\textbf {1}}$

Poslední z uvedených axiomů způsobuje, že triviální svaz tvořený jednoprvkovou množinou (0 = 1) není BA.

Booleova algebra je distributivní komplementární svaz, tedy pro každý prvek z nosiče existuje právě jeden jeho komplement (doplněk) takový, který splňuje $a\wedge -a=0\wedge a\vee -a=1$. Uvedené operace, tedy průsek, spojení a operaci $-$ pro doplněk, označujeme jako booleovská operace.

Dualita operací

Algebraická dualita

Máme-li formuli $\varphi$ v jazyce Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\wedge, \vee, \textbf{1}, \textbf{0}, -)} , pak její dualitu $d(\varphi )$ vytvoříme tak, že nahradíme $\wedge$ za Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vee} , Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vee} za $\wedge$,1 za 0 a 0 za 1. Je-li tedy $\langle \mathbb {B} ,\wedge ,\vee ,{\textbf {1}},{\textbf {0}},-\rangle$ Booleova algebra, pak je Booleova algebra i $\langle \mathbb {B} ,\vee ,\wedge ,{\textbf {0}},{\textbf {1}},-\rangle$. Formule $\varphi$ platí v každé BA, jestliže v každé BA platí její dualita $d(\varphi )$. Stačí nám tedy dokazovat jen polovinu vět, zbytek dostaneme díky této vlastnosti.

Stoneova dualita

Stoneova dualita, pojmenovaná po Marshallu Stoneovi dává do souvislosti Booleovy algebry a kompaktní totálně nesouvislé topologické prostory.

Formule a zákony platné v Booleově algebře

$a\leq b\equiv a\wedge b=a\equiv a\vee b=b$
$a-b\equiv a\wedge -b$
$a\vartriangle b\equiv a-b\vee b-a$ (symetrický rozdíl)
$--a=a$
$-a=-b\rightarrow a=b$
$a\leq b\leftrightarrow -b\leq -a$

Zákon idempotence

$a\wedge a=a$
$a\vee a=a$

Zákon pohlcení

Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a \wedge (a \vee b) = a}
$a\vee (a\wedge b)=a$

Zákony de Morganovy

$-(a\wedge b)=-a\vee -b$
Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -(a \vee b) = -a \wedge -b}

Monotonie

Jestliže Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_1 < a_2} a $b_{1}<b_{2}$, pak v každé Booleově algebře platí:
Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_1 \vee b_1 \leq a_2 \vee b_2}
$a_{1}\wedge b_{1}\leq a_{2}\wedge b_{2}$
$-a_{2}\leq -a_{1}$

Isomorfismus BA

Dvě Booleovy algebry $\mathbb {B}$ a Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{C}} jsou isomorfní (značíme Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{B} \cong \mathbb{C}} ) právě tehdy, když Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\mathbb{B}, \leq)} a $(\mathbb {C} ,\leq )$ jsou isomorfní jako uspořádání.

Podalgebra

Libovolnou neprázdnou podmnožinu C uzavřenou na booleovské operace algebry Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{B}} (operace podalgebry Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{C}} jsou zúžením operací algebry Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{B}} na množinu C) nazýváme podalgebrou Booleovy algebry Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{B}} . Každá podalgebra Booleovy algebry je také Booleova algebra. Každá podalgebra obsahuje 0 a 1, samu sebe a triviální algebru jako své podalgebry.

Mohutnost Booleovy algebry

Mohutnost Booleovy algebry odpovídá mohutnosti její nosné množiny. Je-li Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \kappa} nekonečná, pak existuje Booleova algebra mohutnosti Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \kappa} .

Zdroje

• BALCAR B., ŠTĚPÁNEK P. Teorie množin, Kapitola IV. Academia, Praha, 1986.